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Estimadores insesgados

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Sea X_{1}, ... , X_{n} una m.a. de una distribuciòn U[0,\theta ], y sean

\; \widetilde{\Theta }_{1} = (n+1)X_{(1)} ,\; \: y \; \; \widetilde{\Theta }_{2}= \frac{n+1}{n}X_{(n)}

a) Demuestre que \widetilde{\Theta }_{1} \: y \:\, \widetilde{\Theta }_{2} son estimadores insesgados de \theta .

b) Encuentre la eficiencia relativa de \widetilde{\Theta }_{1}, con respecto a \widetilde{\Theta }_{2}. Indique cual es el estimador que se debe preferir. 

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a)

E\left [ \widetilde{\Theta }_{1} \right ]=E\left [ (n+1)X_{(1)} \right ]=(n+1)E\left [ X_{(1)} \right ]

               =(n+1)\int_{0}^{\theta }x\frac{n}{\theta ^{n}}(\theta -x)^{n-1}dx

               =(n+1)\frac{n}{\theta ^{n}}\int_{0}^{\theta }x(\theta -x)^{n-1}dx

               =(n+1)\left [ \frac{n}{\theta ^{n}}\int_{0}^{\theta }(u-\theta )u^{n-1}du \right ]

               =(n+1)\left [ \frac{n}{\theta ^{n}}\int_{0}^{\theta }u^{n}-\theta u^{n-1}du \right ]

               =\frac{(n+1)n}{\theta ^{n}}\left [ \frac{u^{n+1}}{n+1}-\frac{\theta u^{n}}{n} \right ]_{0}^{\theta }

               =\frac{(n+1)n}{\theta ^{n}}\left [ \frac{(\theta -x)^{n+1}}{n+1}-\frac{\theta (\theta -x)^{n}}{n} \right ]_{0}^{\theta }

               =\frac{(n+1)n}{\theta ^{n}}\left [ -\frac{\theta ^{n+1}}{n+1}+\frac{\theta^{n+1}}{n} \right ]

               =\frac{(n+1)n}{\theta ^{n}}\left [ \frac{\theta ^{n+1}(n+1)-n\theta ^{n+1}}{n(n+1)} \right ]

               =\frac{\theta ^{n+1}}{\theta ^{n}}=\theta

\therefore \widetilde{\Theta }_{1} es estimador insesgado de \theta .

 

E\left [ \widetilde{\Theta }_{2} \right ]=E\left [ \left ( \frac{n+1}{n} \right )X_{(n)} \right ]=\left ( \frac{n+1}{n} \right )E\left [ X_{(n)} \right ]

               =\left ( \frac{n+1}{n} \right )\int_{0}^{\theta }x\frac{nx^{n-1}}{\theta ^{n}}dx

               =\left ( \frac{n+1}{n} \right )\frac{n}{\theta ^{n}}\int_{0}^{\theta }x^{n}dx

               =\frac{n+1}{\theta ^{n}}\left [ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_{0}^{\theta }

               =\frac{n+1}{\theta ^{n}}\left [ \frac{\theta ^{n+1}}{n+1} \right ]_{0}^{\theta }

               =\theta

\therefore \widetilde{\Theta }_{2} es estimador insesgado de \theta.

respondido por anónimo Oct 31
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Para b) tenemos lo siguiente 

E\left [ \widetilde{\Theta }_{1}^{2} \right ]=E\left [ ((n+1)X_{(1)})^{2} \right ]=(n+1)^{2}E\left [ X_{(1)}^{2} \right ]

=(n+1)^{2}\int_{0}^{\theta }x^{2}\frac{n}{\theta ^{2}}(\theta -x)^{n-1}dx

respondido por anónimo Nov 7
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