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Demostrar lo siguiente (Estadística)

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Sean X_{1}, X_{2}, ... una sucesiòn de v.a.`s independientes cada una con distribuciòn U[a,b].

Demuestre que:

a) \; X_{(1)}\xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{p}a

b) \; X_{(n)}\xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{p}b

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Para a) tenemos que:

P(|X_{(1)}-a|\geq \varepsilon )=P(X_{(1)}-a\geq \varepsilon )+P(X_{(1)}-a\leq - \varepsilon )

                                   =P(X_{(1)}\geq \varepsilon +a)

                                   =P(X_{1}\geq \varepsilon +a, ...,X_{n}\geq \varepsilon +a)

                                   =\prod_{i=1}^{a}

f_{X_{(1)}}(x)=\frac{n!}{(i-1)!(1-i)!}[F(x)]^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} \; \; si\; \; a< x< b \\ 0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; o.c. \end{matrix}\right.

F(x)=\left\{\begin{matrix} 0\; \; \; si\; \; x< a \\ \frac{x-a}{b-a} \; \; si\; a\leq x\leq b \\ 1 \; \; \; si \; \; x> b \end{matrix}\right.

 

\Rightarrow f_{X_{(1)}}=n\left [ 1-\frac{x-n}{b-a} \right ]^{n-1}\left ( \frac{1}{b-a} \right )=\frac{n}{b-a}

Por lo tanto, calculando la integral obtenemos 

\int_{\varepsilon +a}^{b}\frac{n}{(b-a)^{n}}(b-x)^{n-1}\int_{\varepsilon +a}^{b}\frac{n}{(b-a)^{n}}(b-x)^{n-1}=\left ( \frac{b-\varepsilon -a}{b-a} \right )^{n}

 

respondido por Gaby Oct 20
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