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Problema de Estadística

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Si X es una v.a. continua que tiene densidad dada por f_{X}(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}I_{(-\infty ,\infty )}(x).

a) Mostrar que k_{X}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}  para -\infty < t< \infty

b) Use (a) y la formula de inversiòn para v.a.`s continuas para concluir que:

e^{-|x|}=\int_{-\infty }^{\infty }e^{-ixt}\frac{1}{\pi(1+t^{2}) }dt

c) Mostrar usando (b) que: e^{-|x|}=\int_{-\infty }^{\infty }e^{ixt}\frac{1}{\pi(1+t^{2}) }dt

1 Respuesta

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Para a)

k_{X}(t)=E[e^{itx}]=\int_{-\infty }^{\infty }e^{itx}\left [ \frac{1}{2}e^{-|x|} \right ]dx

           =\frac{1}{2}\left [ \int_{-\infty }^{0}e^{itx+x}dx + \int_{0}^{\infty }e^{itx-x}dx\right ]

           =\frac{1}{2}\left [ \int_{-\infty }^{0}e^{(it+1)x}dx + \int_{0}^{\infty }e^{(it-1)x}dx\right ]

           =\frac{1}{2}\left [ \left.\begin{matrix} \frac{e^{(it+1)x}}{it+1} \end{matrix}\right|_{-\infty }^{0} -\left.\begin{matrix} \frac{e^{(it-1)x}}{it-1} \end{matrix}\right| _{0}^{\infty}\right ]

           =\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{it+1}-\frac{1}{it-1}\right ]

           =\frac{1}{2}\left [ \frac{it-1-t-1}{-t^{2}-1}\right ]

           =\frac{1}{t^{2}+1}

           =k_{X}(t)

Ahora para b)

e^{-|x|}=\int_{-\infty }^{\infty }e^{-|x|}\frac{1}{\pi(1+t^{2}) }    

y

f_{X}(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}I_{(-\infty ,\infty )}(x)

Tenemos que  \int_{-\infty }^{\infty }\left | \frac{1}{1+t^{2}} \right |dt  es finito, asì

\frac{1}{2}e^{-|x|}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-ixt}\left (\frac{1}{1+t^{2}} \right )dt

Esto es

e^{-|x|}=\int_{-\infty }^{\infty }e^{-ixt}\frac{1}{\pi (1+t^{2})} dt

 

c) Usando (b) y tomando t por -t

\int_{-\infty }^{\infty }e^{ixt}\frac{1}{\pi (1+t^{2})} dt

 

 

respondido por Zay Oct 20
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