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Demuestre que Xn converge en probabilidad a una v.a. uniforme

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Considere el espacio de probabilidad ((0,1],B(0,1],P), donde P es la medida de probabilidad uniforme. Defina las v.a.`s discretas 

X_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}I_{(\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]}

Demuestre que X_{n} converge en probabilidad a una v.a. con distribuciòn uniforme sobre el intervalo (0,1].

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X\sim U[0,1]

P.D. P[|X_{n}-X|> \varepsilon ]\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}0

Notar que en este espacio de probabilidad, si X\sim U[0,1], entonces x(w)=w, pues P(x\leq x)

x:[0,1]\rightarrow [0,1]\\ x(w)=w\\ \left \{ x\leq x \right \}=\left \{ w:x(w)\leq x \right \}

[0,x]\\ \Rightarrow P([0,x])=x-0=x

\underset{0\leq w\leq \lambda }{max}\left \{ |x_{n}(w)-x(w) |\right \}=\frac{1}{n}

Sea \varepsilon > 0, entonces \exists \: N_{\varepsilon }\, \epsilon \, \mathbb{N} tal que  \frac{1}{N_{\varepsilon }}< \varepsilon, de tal forma que \forall \, n> N_{\varepsilon } tenemos que:

\left \{ |x_{n}(w)-x(w) |> \varepsilon > \frac{1}{N_{\varepsilon }}> \frac{1}{n}\right \}

\left \{ |x_{n}(w)-x(w) |> \frac{1}{n}\right \}=\varnothing

Ahora

\left \{ |x_{n}(w)-x(w) |> \frac{1}{n}\right \}\supseteq \left \{ |x_{n}(w)-x(w) |> \varepsilon \right \}=\varnothing

respondido por Fernando Oct 20
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