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Mostrar que una estadística es completa

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Sea X_{1}, ..., X_{n} una m.a. de la distribucion U(0,\theta ), donde \underline{\overline{\Theta }}=\mathbb{R}^{+}. Mostrar que la estadistica X_{(n)}= max(X_{1},...,X_{n}) es completa.

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Observemos que 

f_{y_{(1)}}(y)=\frac{n!}{(i-1)!(i-i)!}\left [ F(1) \right ]^{i-1}\left [ 1-F(y) \right ]^{n-i}f(y)

               =n\left ( \frac{x}{\theta } \right )^{n-1}\frac{1}{\theta }=n\frac{x^{n-1}}{\theta ^{n}}

E\left [ g(x) \right ]=\int_{0}^{\theta }g(x)\frac{nx^{n-1}}{\theta ^{n}}=0

     \Rightarrow \int_{0}^{\theta }g(x)x^{n-1}dx=0

Ahora dado que x^{n-1}> 0, \; \forall x\epsilon (0,\theta )

     \Rightarrow g(x)=0

excepto para un conjunto finito de puntos en (0,\theta ), \; \forall \theta \epsilon \overline{\underline{\Theta }}

\therefore P\left \{ g(x)=0 \right \}=1, \forall \theta \epsilon \overline{\underline{\Theta }}

respondido por anónimo Oct 31
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