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Encontrar una estadística de mínima suficiencia

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Supongase que \underline{X}=(X_{1},...,X_{n}) es una m.a. de una distribucion Weibull con parametros \alpha =1 y \beta =\theta cuya f.d.p. esta dada por 

f(x;\theta )=\left ( \frac{2x}{\theta } \right )e^{-\frac{x^{2}}{\theta }}I_{(0,\infty )}(x)

Encuentre una estadistica de minima suficiencia para \theta y en la base a tal estadistica determine un estimador insesgado de varianza uniforme minima, justifique su respuesta.

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Utilizando el criterio de Lehman

\frac{f_{\underline{X}}(x_{1},...,x_{n};\theta )}{f_{\underline{Y}}(y_{1},...,y_{n};\theta )}=\left ( \frac{\frac{2^{n}(x_{1},...,x_{n})}{\theta ^{n}}e^{-(\frac{1}{\theta }\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2})}}{\frac{2^{n}(y_{1},...,y_{n})}{\theta ^{n}}e^{(\frac{1}{\theta }\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2})}} \right )\\\\\\=\frac{(x_{1},...,x_{n})}{(y_{1},...,y_{n})}e^{\left ( -\frac{1}{\theta }\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}\right ) \right )}

Para que la razòn no incluya a \theta, debemos tomar 

\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}

Asì

\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} es una estadistica minima suficiente.

respondido por anónimo Nov 7
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