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Demostrar la Ley débil de los grandes números .

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Sea f(\cdot ) una función de densisdad con media \mu y varianza \sigma^{2} y sea \bar{x_{n}} la media muestrai de una muestra aleatoria de tamaño n de la densisdad f(\cdot ). Sea \epsilon y \delta cualesquiera dos números especificos que satisfacen que \epsilon > 0 y 0< \delta < 1.

Si n es cualquier entero mayor que

 \frac{\sigma ^{2}}{\delta \epsilon ^{2}} entonces  p\left \{ \left | \bar{x_{n}} - \mu \right | \leq \epsilon \right \}\leq 1-\delta .

 

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Demostración:

Para demostar este resultado usaremos la siguiente igualdad 

p \left \{ g(X) \geq k \right \} \leq \frac{E\left ( g(X) \right )}{k}  ,

para cualquier k>0, variable aleatoria y la funcón no negativa g.

o equivalente 

p \left \{ g(X) < k \right \} \geq 1 - \frac{E\left ( g(X) \right )}{k}.

Ahora, tómese  a g\left ( X \right )=\left ( \bar{X_{n}}-\mu \right )^{2} y k=\epsilon ^{2} . Asi, sustituyendo en la desigualdad anterior se tiene 

p \left \{ \left | \bar{X_{n}}-\mu \right | <\epsilon \right \} = p \left \{ \left | \bar{X_{n}}-\mu \right | ^{2}<\epsilon^{2} \right \} \geq 1 - \frac{E( \left | \bar{X_{n}}-\mu \right | ^{2}) }{\epsilon^{2}} =\\ 1- \frac{(\frac{1}{n}\sigma ^{2})}{\epsilon^{2}} \geq 1-\delta .

para \delta > \frac{(\sigma ^{2})}{n\epsilon^{2}}  o bien n > \frac{(\sigma ^{2})}{\epsilon^{2} \delta } .

respondido por anónimo Oct 23
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