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¿ Como se distribuye la media muestral de una muestra aleatoria de una distribución normal?

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Sea \bar{x_{n}} la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una distribuciòn normla con media \mu y varianza \sigma ^{2}. Entonces \bar{x_{n}} tiene una distribuccion N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ).

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Recordemos que si  x\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) ( es decir que si x tiene una distribucion normal con parametros \mu,\sigma^{2}) entonces  M_{x}(t)=exp\left \{ \mu t +\frac{1}{2} \sigma ^{2}t^{2}\right \} , si -\infty <t < \infty .

 

Dem: 

 

M_{\bar{x}_{n}}(t)=E\left [exp(t\bar{x}_{n}) \right ]= E\left [exp(\frac{t \sum x_{i}}{n}) \right ] \\ 

(por drfinicion de funcion generadora de momentos y por deficion de media muestral)

                                           = E\left [\prod_{i=1}^{n}exp(\frac{t x_{i}}{n}) \right ] \\ = \prod_{i=1}^{n} E\left [exp(\frac{t x_{i}}{n}) \right ] \\ = \prod_{i=1}^{n} M_{x_{i}}(\frac{t}{n})

                                             = \prod_{i=1}^{n}exp\left \{ \frac{\mu t}{n} +\frac{1}{2} \sigma ^{2}(\frac{t}{n})^{2}\right \} \\ = exp\left \{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \left [ \mu t +\frac{1}{2} ( \frac{\sigma ^{2}}{n}) t^{2} \right ]\right \}

esto es 

 

M_{\bar{x}_{n}}= exp\left \{ \left [ \mu t +\frac{1}{2} ( \frac{\sigma ^{2}}{n}) t^{2} \right ]\right \}

   

respondido por anónimo Nov 6
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