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¿ U tiene una distribución ji-cuadrada con k grado de libertad?

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Si las variables aletorias xx_{1},...,x_{n} son independientes y x_{i}\sim N\left ( \mu _{i}, \sigma ^{2} _{i}\right )

y U=U= \sum_{k}^{i=1}\left ( \frac{x_{i} - \mu _{i}}{ \sigma _{i}} \right )^{2} entonces  U \sim \chi ^{2}_{k}

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Demostración:

Si se toma  Z_{i}=\frac{ x_{i} - \mu_{i} }{\sigma _{i}} entonces  Z_{i} tiene un distribución normal estandar. Así, la función generadora de momentos de la variable aleatoria U es 

M_{U}(t)= E\left [ e^{tu} \right ] ( por definicón de f.g.m.)

            = E\left [ exp\left \{ t\sum_{i=1}^{k} z^{2}_{i} } \right \} \right ] (por como definimos a U)

            = E\left [\prod_{i=1}^{k} exp \left \{ t z^{2}_{i} } \right \} \right ]

            = \prod_{i=1}^{k} E\left [exp \left \{ t z^{2}_{i} } \right \} \right ]

Ahora,

E\left [e^{ t z^{2}_{i} } \right ] = \int_{-\infty }^{\infty } e^{ tz^{2} } \left ( \frac{1}{\sqrt{2\Pi }} e^{\frac{-1}{2} z^{2}} \right ) dz

                 = \int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{\sqrt{2\Pi }} e^{\frac{-1}{2} \left ( 1-2t \right ) z^{2}} dz

                    =\frac{1}{\sqrt{1-2t}} \int_{-\infty }^{\infty } \frac{\sqrt{1-2t}}{\sqrt{2\Pi }} \left ( e^{\frac{-1}{2} \left ( 1-2t \right ) z^{2}} \right ) dz

                    =\frac{1}{\sqrt{1-2t}} \; t<\frac{1}{2} .

 

Por tanto, 

M_{U}(t)=\prod_{i=1}^{k}E\left [ e^{tz_{i}^{2}} \right ]=\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{\sqrt{1-2t}}= \left ( \frac{1}{1-2t} \right )^{\frac{k}{2}} , t<\frac{1}{2}

 

\therefore U \sim \chi ^{2}_{k}

 

 

                 

 

 

 

 

 

 

respondido por anónimo Nov 6
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