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Demostración de la siguiente proposición.

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Si z_{1},..., z_{n} es una muestra aleatoria de una distribución normal estandar entonces 

 \sum_{i=1}^{n} \left ( z_{i} - \bar{z} \right ) ^{2} \sim \chi ^{2}_{n-1} .

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Demostración:

Recordemos la siguiente preposición: si z_{1},..., z_{n} es una muestra aleatoria de una distribución normal estandar entonces  

                                           \bar{z}  y      \sum_{i=1}^{n} \left (z_{i}- \bar{z} \right ) ^{2} son independientes.

 

Ahora supongamos  \bar{z} y   \sum_{i=1}^{n} \left (z_{i}- \bar{z} \right ) ^{2} son independientes.

Notemos que 

                     \sum_{i=1}^{n}z_{i}^{2} =\sum_{i=1}^{n} \left (z_{i}- \bar{z}+\bar{z} \right ) ^{2}

                                    = \sum_{i=1}^{n} \left (z_{i}- \bar{z} \right ) ^{2} + 2\bar{z}\sum_{i=1}^{n} \left (z_{i} - \bar{z} \right ) + \sum_{i=1}^{n} \bar{z}^{2}

                                    = \sum_{i=1}^{n} \left (z_{i}- \bar{z} \right ) ^{2} + n \bar{z}^{2}

tambien   \sum_{i=1}^{n} \left (z_{i}- \bar{z} \right ) ^{2}, n \bar{z}^{2} son independientes, entonces 

 

                   M_{ \sum z_{i}^{2} }(w)= M_{\sum \left (z_{i}- \bar{z} \right ) ^{2} }(w) M_{n \bar{z}^{2} }(w) .

Asi, 

                     M_{\sum \left (z_{i}- \bar{z} \right ) ^{2} }(w)=\frac{ M_{ \sum z_{i}^{2} }(w) }{ M_{n \bar{z}^{2} }(w) }

                                                        =\frac{ \frac{1}{ (1-2 w)^{n/2} } }{ \frac{1}{ (1-2 w)^{1/2} } }

                                                       = \left ( \frac{1 }{1-2 w)} \right )^{\frac{n-1}{2}}  , t<\frac{1}{2}  .                Q.D.

 

 

                                                      

 

 

  

 

 

 

 

 

 

respondido por anónimo Nov 9
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