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Función distribución acumulativa marginal de orden estadístico.

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Sea y_{(1)}\leq y_{(2)}\leq ...\leq y_{(n)}  representa el orden estadistico de una función de distribución acumulativa F(.). L a fución distribución acumulativa marginal de  y_{(\alpha )}, \alpha = 1, ..., n

esta dada por 

                       F_{ y_{(\alpha )} }=\sum_{j=\infty }^{n} \binom{n}{j}\left [ F(y) \right ]^{j} \left [ 1- F(y) \right ]^{n-j} .

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Demostración:

Para un y fijo, sea   z_{i}= \l _{(-\infty ,y ]}\left ( x_{i} \right ) ; entonces  

                     \sum_{i=1}^{n} z_{i}=el \, numero\: x_{i}\leq y.

Ahora,

  F_{y_{\alpha }}(y)= P\left [ y_{\alpha } \leq y \right ] =P\left [ \sum z_{i} \geq \alpha \right ]= \sum_{j=\alpha }^{n} \binom{n}{j}\left [ F(y) \right ]^{j}\left [ 1-F(y) \right ]^{n-1} .

 

El paso fundamental en la prueba es la equivalencia de los eventos \left \{ y_{\alpha }\leq y \right \} y \left \{ z_{i} \geq \alpha \right \} . Si 

\alpha-ésimo estadistico de orden es menor o igual a y, entonces seguramente el número de x_{i} es

menor o igual a y es mayor igual a \alpha es decir  x_{i}\leq y y y\geq \alpha  y viseversa.

   

respondido por anónimo Nov 9
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