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Función exponencial compleja

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Demuestre que la funciòn exponencial compleja es una funciòn periodica donde 2\pi i es el periodo.

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Sea w cualquier periodo de la funciòn exponencial, es decir e^{z+w}=e^{z}e^{w}=e^{z}

para todo z\in \mathbb{C}. Como e^{z} es siempre \neq 0, entonces tenemos que

e^{w}=1

Si establecemos w= a+ib con a y b reales, asì la ecuaviòn anterior obtiene la forma 

e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b=1

esto implica 

e^{a}\cos b=1,   e^{a}\sin b=0

Como estas ecuaciones son cuadrada, obtenemos e^{2a}=1 lo cual significa, ya que a es real, que a=0. Por lo tanto la ecuaciòn anterior toma la forma 

\cos b=1,    \sin b=0

Esto resulta que b=n\cdot 2\pi y por lo tanto

w=n\cdot 2\pi i \; \; \; (n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3,...)

respondido por Fernando Nov 14
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