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Muestre que las raíces de un polinomio con coeficientes reales ocurre en pares conjugados.

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Sea p(z)= a_{0}+ a_{1}z+ a_{0}z^{2} +\cdots + a_{n}z^{n} un polinomio de grado n, con  a_{n}\neq 0 .

Ahora supongamos que z=a +bi es la raiz  de p(z).

P.D. \bar{z}=a -bi es también una raiz de p(z).

 

Demostración:

Como p\left ( z \right )=0  mostremos que p\left ( \bar{z} \right )=0.

p(z)= a_{0}+ a_{1}\bar{z}+ a_{0}\bar{z}^{2} +\cdots + a_{n}\bar{z}^{n}

            = \overline{a_{0}}+ \overline{a_{1} z }+ \overline{ a_{2}z }^{2} +\cdots + \overline{a_{n}z}^{n}

            = \overline{a_{0}+ a_{1} z +a_{2}{z}^{2}+ \cdots +a_{n}{z}^{n}}     ( como  \left ( \bar{z} \right )^{n}= \bar{z^{n}})

           =\left ( \bar{o} \right )= 0 ñ

 

\therefore p\left ( \bar{z} \right )= 0.

 

respondido por anónimo Nov 22
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