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Sean z y w números complejos. Demostrar :

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Si algún  \left | z \right |=1 ó \left | w \right |=1    entonces  prueba que

                                      \left | \frac{z-w}{1-\bar{z}w} \right |=1   con \bar{z}w \neq 1.

 

 

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Demostración:

Supongamos que  \left | z \right |=1  como  \left | w \right |=\left | w \right |

                           \Rightarrow -2\left | w \right |= -2\left | w \right |

                          \Rightarrow -2\left | w \right | +\left | w \right |^{2} = -2\left | w \right |+\left | w \right |^{2}

                         \Rightarrow -2\left | w \right |\cdot 1 +\left | w \right |^{2} = -2\left | w \cdot 1\right |+\left | w \right |^{2}\cdot 1

                          \Rightarrow -2\left | w \right | \left | z \right | +\left | w \right |^{2} = -2\left | w \bar{z} \right |+\left | w \right |^{2}\left | \bar{z} \right |       (  pues \left | \bar{z} \right |=1  ) 

                         \Rightarrow \left | z \right |^{2} -2\left | w \right | \left | z \right | +\left | w \right |^{2} = 1 -2\left | w \bar{z} \right |+\left | w \bar{z} \right |^{2}

                        \Rightarrow \left | z-w \right |^{2} =\left | 1- \bar{z}w \right |^{2}

                        \Rightarrow \left | z-w \right |=\left | 1- \bar{z}w \right |

                       \Rightarrow \frac{ \left | z-w \right | }{ \left | 1- \bar{z}w \right | } = 1 .     con  \bar{z}w \right | \neq 1.         Q.D.

 

                                   

respondido por anónimo Nov 22
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