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Estimador insesgado. Teorema de Rao-Blackwell

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Utilice el teorema de Rao-Blackwell para encontrar el EIMV de e^{-\frac{t}{\theta }} mediante los siguientes pasos:

a) Sea

V=\left\{\begin{matrix} 1, &si\; X_{1}> t \\ \\ 0, & d.o.f. \end{matrix}\right.

Demuestre que V es un estimador  insesgado de e^{-\frac{t}{\theta }}

b) Como U=\sum_{i=1}^{n}X_{i} es el estadistico de minima suficiencia para \theta, demuestre que la funcion de densidad condicional para X_{1}, dada U=u es 

f_{X_{1}|U}(x_{1})= \left\{\begin{matrix} \left ( \frac{n-1}{u^{n-1}} \right )(u-x_{1})^{n-2}, &si\: \: 0< x_{1}< u, \\\\ 0, & d.o.f. \end{matrix}\right.   

c) Demuestre que

E\left ( V|U \right )=P\left ( X_{1} > t|U\right )=\left ( 1-\frac{t}{U} \right )^{n-1}

Este es el EIMV de e^{-\frac{t}{\theta }} por el Teorema de Rao-Blackwell y por el hecho de que la funcion de densidad para U es completa.

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