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Demuestre que la función no es analítica

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Demuestre que la funcion f(z)=\overline{z} no es analitica 

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Por definicion 

\frac{d}{dz}f(z)=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}

Si este limite existe independientemente de la manera como \Delta z=\Delta x+i\Delta y tiende a cero.

Entonces:

\frac{d}{dz}\overline{z}=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{\overline{z+\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z}

          =\lim_{\Delta x\rightarrow 0,\, \Delta y\rightarrow 0}\frac{\overline{x+iy+\Delta x+i\Delta y}-\overline{x+iy}}{\Delta x+i\Delta y}

          =\lim_{\Delta x\rightarrow 0,\, \Delta y\rightarrow 0}\frac{x-iy+\Delta x-i\Delta y-(x-iy)}{\Delta x+i\Delta y}

          =\lim_{\Delta x\rightarrow 0,\, \Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta x-i\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}

Si \Delta y=0, el limite buscado es \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1

Si \Delta x=0, el limite buscado es \lim_{\Delta y\rightarrow 0}-\frac{i\Delta y}{i\Delta y}=-1

Entonces como el limite depende de la manera como \Delta z \rightarrow 0, la derivada no existe, es decir, f(z)=\overline{z} no es analitica.

respondido por Ana Laura hace 5 días
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