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Probar que la sucesión es uniformemente convergente

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Probar que la sucesion \left \{ \frac{1}{1+nz} \right \} es uniformemente convergente a cero \forall z tal que |z|\geq 2

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Demostración:

Dado \epsilon > 0, \; \exists N tal que si n> N\Rightarrow \left | \frac{1}{1+nz}-0 \right |< \epsilon

Tenemos 

\left | \frac{1}{1+nz}-0 \right |=\left | \frac{1}{1+nz} \right |< \epsilon \Rightarrow \frac{1}{|1+nz|}< \epsilon

Así 

1+n|z|\geq |1+nz|> \frac{1}{\epsilon } \Rightarrow 1+n|z|\geq \frac{1}{\epsilon }

\Rightarrow n|z|\geq \frac{1}{\epsilon }-1 \Rightarrow n\geq \frac{1/\epsilon -1}{|z|}=N

Observemos que el valor mas grande de \frac{1/\epsilon -1}{|z|} ocurre cuando |z|=2 y esta dado por \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\epsilon }-1 \right )=N

\therefore \left \{ \frac{1}{1+nz} \right \} \; es \; uniformemente \; convergente.

respondido por Camila hace 5 días
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