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¿La serie converge?

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Sea f_{n}(z)=z^{n}(1-z) y la serie \sum_{n=1}^{\infty }f_{n}(z)=\sum_{n=1}^{\infty }z^{n}(1-z)

¿Converge la serie para |z|< 1?

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Observemos

S_{N}=\sum_{n=1}^{N}z^{n}(1-z)=z(1-z)+z^{2}(1-z)+z^{3}(1-z)+...

=z-z^{2}+z^{2}-z^{3}+z^{3}+...+z^{N}-z^{N+1}

=z-z^{N+1}

Ahora sea \epsilon > 0 si \exists \: \mathfrak{N},S tal que N> \mathfrak{N} entonces \left | z-z^{N+1}-S \right |< \epsilon. Supongamos  S=z, necesitamos encontrar \mathfrak{N}

\left | z-z^{N+1}-z \right |=\left | z^{N+1} \right | =\left | z \right |^{N+1}

Para tener \left | z \right |^{N+1}< \epsilon, debemos saber la condicion que debe tener N

\left | z \right |^{N+1}< \epsilon \Leftrightarrow \ln \left ( |z|^{N+1} \right )< \ln (\epsilon )

\Rightarrow (N+1)\ln |z|< \ln (\epsilon )

\Rightarrow N+1> \frac{\ln (\epsilon )}{\ln |z|}

\Rightarrow N> \frac{\ln (\epsilon )}{\ln |z|}-1

Así

\mathfrak{N}= \frac{\ln (\epsilon )}{\ln |z|}-1

respondido por anónimo Dic 5, 2017
editado Dic 12, 2017
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