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Demostrar que si se satisface la ecuación:

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sean z_{1}, z_{2}, z _{3}  

\frac{ z_{2}-z _{1} }{ z_{3}-z _{2}} =\frac{ z_{1}-z _{3} }{ z_{2}-z _{3}}

Pruebese que \left | z_{2}-z _{1} \right |=\left | z_{3}-z _{1} \right |=\left | z_{2}-z _{3} \right |.

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Sean u=z_{2}-z _{1}, v=z_{3}-z _{1} entonces u-v=z_{2}-z_{3}.

Con la condición 

                       \frac{z_{2}-z _{1}}{z_{3}-z _{1}}=\frac{z_{1}-z _{3}}{z_{2}-z _{3}}   

 resulta en 

            \frac{u}{v}=\frac{-v}{u-v}      o bien  u^{2}-uv+v^{2}=0.

Luego               u^{3}+v^{3}=\left ( u+v \right )\left ( u^{2} -uv+ v^{2}\right )=0

por lo tanto, u^{3}= -v^{3}  y asi    \left | u \right |^{3}=\left | u^{3} \right |=\left | -v^{3} \right |=\left | v^{2} \right | =\left | v \right |^{3}

entonces   \left | u \right |=\left | v \right |, o   bien  \left | z_{2}-z _{1} \right |=\left | z_{3}-z _{1} \right |\neq 0.

Como 

                    \left ( z_{2}-z _{1} \right )\left ( z_{2}-z _{3} \right )=\left ( z_{1}-z _{3} \right ) \left ( z_{3}-z _{1} \right ),

                   \left | z_{2}-z _{1} \right |\left | z_{2}-z _{3} \right |=\left | z_{1}-z _{3} \right | \left | z_{3}-z _{1} \right |=\left | z_{1}-z _{3} \right |\left | z_{2}-z _{1} \right |.

 

   Asi,                          \left | z_{2}-z _{3} \right |=\left | z_{1}-z _{3} \right |

 

                

 

respondido por anónimo Dic 11, 2017
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