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Sea X una observación de la distribución con f.d.p. dada por f(x;\theta )=(2\theta x+1-\theta )I_{\left [ 0,1 \right ]}, donde -1\leq \theta \leq 1

(a) Encontrar la prueba más potente de tamaño \alpha para contrastar el siguiente juego de hipótesis: H_{0}:\theta =0 vs H_{1}:\theta =1. (La prueba deberá ser expresada en términos de \alpha).

(b) Para probar H_{0}:\theta \leq 0 vs H_{1}:\theta > 0, se usa la siguiente regla de decisión: Rechazar H_{0} si x\geq \frac{1}{2}. Encontrar la función de potencia para esta prueba y su tamaño o nivel de significancia.

(c) ¿Existe una prueba UMP(\alpha ) para contrastar:H_{0}:\theta \leq 0 vs H_{1}:\theta > 0. ¿Si es así, cuál es?

(d) De entre todas las posibles pruebas de razón de verosimilitudes para contrastar H_{0}:\theta = 0 vs H_{a}:\theta = 1 encontar la prueba que minimice \alpha +\beta, donde \alpha y \beta son, respectivamente, los tamaños de los errores Tipo I y Tipo II.

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