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Subconjunto compacto

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Demostrar directamente que si K\subseteq \mathbb{R}^n es compacto y F\subseteq K es un conjunto cerrado, entonces F es compacto

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En general, si $K$ es compacto y $F\subset K$ es cerrado, entonces $F$ es compacto, la cosa es sencilla, tomas una cubierta abierta $\mathcal{U}$ de $F$, entonces cada $U\in \mathcal{U}$ es de la forma $V_{U}\cap F$, donde $V_{U}$ es un conjunto abierto en $K$. Ahora, la familia $\mathcal{V}=\{ V_{U}: U\in \mathcal{U} \}\cup \{ K\setminus F \}$ es una cubierta abierta de $K$. Como $K$ es compacto tienes que existe una subcubierta finita de $\mathcal{V}$. Toma los miembros de dicha familia e intersectalos con $F$, eso te dará una subcubierta de la cubierta $\mathcal{U}$, y de esta forma has probado que $F$ es compacto.
respondido por anónimo Abr 16
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