0
C1xc2 conexo de R2

Abierto 1 Respuestas 27 Vistas

Si C_1 y C_2 son subconjuntos conexos de \mathbb{R}, demostrar que C_1\textup{x}C_2 es un subconjunto conexo de \mathbb{R}^2

1 Respuesta

0
Sea $C_{1}\times C_{2}=X\cup Y$, donde los conjuntos $X$ y $Y$ son abiertos y disjuntos en $\mathbb{R}^{2}$. Como las proyecciones $\pi_{1}(x,y)=x$ y $\pi_{2}(x,y)=y$ son funciones continuas y abiertas (mandan conjuntos abiertos en conjuntos abiertos), tendremos que $\pi_{1}(X)$ y $\pi_{1}(Y)$ son conjuntos abiertos disjuntos de $\mathbb{R}$ tales que $\pi_{1}(X)\cup \pi_{1}(Y)=C_{1}$, como $C_{1}$ es conexo tenemos que $\pi_{1}(X)$ o $\pi_{1}(Y)$ son vacíos, esto significa que $X$ o $Y$ son vacíos, por tanto $C_{1}\times C_{2}$ es conexo.
respondido por anónimo Abr 16
...