0
Demostrar que no existe x racional, tal que :

Abierto 1 Respuestas 1 Vistas

x^{2}=2, esto es, \sqrt{2} no es racional.

1 Respuesta

0

Demostración: Supongamos lo contrario, es decir, \sqrt{2} es racional. Sabemos que todo racional se puede expresar como cociente de dos enteros primos entre si (coprimos, primos relativos ), es decir, enteros que no tienen factores comunes, 

\sqrt{2}=\frac{n}{m}  n,m enteros positivos, primos entre si, m\neq 0 .

\sqrt{2}\, es \, racional \Rightarrow \sqrt{2}=\frac{n}{m}    n,m enteros positivos,

                           \Rightarrow \left ( \sqrt{2} \right )^{2}=\left ( \frac{n}{m} \right )^{2}

                          \Rightarrow 2= \frac{n^{2}}{m^{2}}

                         \Rightarrow 2m^{2}= n^{2}

                        \Rightarrow \left ( 2m^{2}= n^{2} \right ) \wedge \left ( n^{2} \, es \, multiplo \, de \, 2\right )  (a)

                       \Rightarrow \left ( 2m^{2}= n^{2} \right ) \wedge \left ( n\, es \, multiplo \, de \, 2\right )

                       \Rightarrow \left ( 2m^{2}= n^{2} \right ) \wedge \left ( n=2i\right ),

                       \Rightarrow \left ( 2m^{2}= n^{2} \right ) \wedge \left ( n^{2}=4i^{2}\right ),

                      \Rightarrow 2m^{2}= 4i^{2} ,

                     \Rightarrow 2m^{2}= 2\left ( 2i^{2} \right ),

                    \Rightarrow m^{2}= 2i^{2} ,

                   \Rightarrow m^{2} es múltiplo de 2,

                   \Rightarrow m es múltiplo de 2 , (b)

    las proposiciones (a) y (b) nos dicen que n y m tienen como factor común a 2, contradicción.

Por lo tanto \sqrt{2} no es racional.

respondido por Carmen Ago 23
...