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Subgrupo ciclico de G generado por a.

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Sea \left ( G,\cdot \right ) un grupo y sea a\, \epsilon \, G. Probar que 

                                 gen\left ( a \right )=\left ( a \right )= < a> := \left \{ a^{i} : i\epsilon \mathbb{Z}\right \}

es un subgrupo de G.

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Demostraciòn:

 veamos que gen(a) es diferente del vacio, 

a^{'} =a \epsilon \, \, gen(a)

por lo tanto  < a> \neq 0.

La operacion producto es clausativa en < a>. En efecto para todo a^{r},a^{s}\, \epsilon \, \, < a> , \, a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}\, \epsilon < a> ,\, r,s \, \epsilon \mathbb{Z}

, además  a^{0}=e, por lo tanto e\, \epsilon \, < a> y para a^{r}\, \epsilon \, < a>,      a^{r}\, \epsilon \, < a> \; y \, a^{-r}\cdot a^{r}=e.

\therefore \; < a> \leq G. 

 

 

 

 

respondido por sofia . Oct 9
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