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Grupo de isometrías

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Sea d:\mathbb{R}^{2}x\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}  definida por d\left ( a,b \right ):=\sqrt{\left ( a_{1}-b_ {1}\right )^{2}+\left ( a_{2} -b_{2}\right )^{2}}

para cada a=\left (a_{1},b_ {1} \right ), b=\left ( a_{2},b_ {2} \right )\, \epsilon \, \mathbb{R}^{2}. Probar que 

 

                                I\left ( \mathbb{R}^{2} \right ):=\left \{ \sigma \epsilon S_{\mathbb{R}^{2}}} : \sigma \: es \, isometria\, de \, \mathbb{R}^{2}\right \}

es un subgrupo de S_{\mathbb{R}^{2}}}  y que 

                    I\left ( S \right ):=\left \{ \sigma\epsilon I\left ( \mathbb{R}^{2} \right ) : \sigma \left ( a \right )\right\epsilon S\, si\, y \, s\acute{o}lo \, si \, a\epsilon S\},

 

  donde     S\subseteq \mathbb{R}\, \y\, S\neq \O ,\, es\, un \, subgrupo\, de\, I\left ( \mathbb{R}^{2} \right ).

 

 

 

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