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Propiedades de los grupos abelianos.

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Pruébesse que si G es u prupo abeliano, entonces para todo a,b\epsilon G y todos los enteros n, 

\left ( a,b \right )^{n}=a^{n}b^{n}.

1 Respuesta

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Demostracón:

veamos que se cumple para enteros positivos (por inducción)

i) para n=0, tenemos (ab)^{0}=e, ( por definición).

También a^{0}b^{0}=e\cdot e=e. 

\therefore \, (ab)^{0}=a^{0}b^{0}.

ii) Para n>0. Si n=1, entonces (ab)^{1}=ab=a^{1}b^{1}.

Ahora supongamos para n=k, (ab)^{k}=a^{k}b^{k}.

Entonces 

(ab)^{k+1}=(ab)^{k}(ab)=a^{k}b^{k}ab

 = a^{k}ab^{k}b ( porque G es abeliano entoces (b)^{k}a=a(b)^{k} )

=(a)^{k+1}(b)^{k+1

Por lo tanto, el resultado es verdadero para n =k+1 si se cumple para n=k. Pero esto es cierto para n=1. Por inducción matemática para todo n>0, (ab)^{n}=a^{n}b^{n}.

 iii) Para n<0. Sea n=-m donde m es un entero positivo.

Entonces 

(ab)^{n}=(ab)^{-m}=[(ab)^{m}]^{-1}=(a^{m}b^{m})^{-1}

=(b^{m}a^{m})^{-1}  (Porque G es abeliano entonces(a^{m}b^{m})=(b^{m}a^{m}) )

=(a^{m})^{-1}(b^{m})^{-1}  (porque (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} )

=a^{-m}b^{-m}=a^{n}b^{n}.

Asi mostramos que es valido para enteros negativos .

 

\therefore (ab)^{n}=a^{n}b^{n} \forall a,b \epsilon G.

respondido por anónimo Oct 9
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