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Normalizador o centralizador de a en G.

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Si a\epsilon G, Definamos  N(a)=\left \{ a\epsilon G : xa=ax\right \}. Demuéstre que N(a) es un subgrupo de G.

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Demostracón:

sabemos que xe=ex, xe=ex, \forall \, x\epsilon \, G. Entonces, en particulat, ae=ea entonces e\, \epsilon \, N(a).

Por lo tanto N(a) no es vacio.

Ahora, sea x_{1},x_{2}\, \epsilon \, N(a). Entonces a x_{1}=x_{1}a, a x_{2}=x_{2}a.

a x_{2}=x_{2}a

\Rightarrow x_{2}^{-1}(a x_{2})= x_{2}^{-1}(x_{2}a)\\ \, \, \Rightarrow x_{2}^{-1}(a x_{2})=a \\ \Rightarrow x_{2}^{-1}a =ax_{2}^{-1} \Rightarrow x_{2}^{-1}\, \epsilon \, N(a).

Mostremos que  x_{1}x_{2}^{-1} \epsilon \, N(a).

\: a( x_{1}x_{2}^{-1})= (a x_{1})x_{2}^{-1}=(x_{1}ax_{2}^{-1})= x_{1}(ax_{2}^{-1})\\ =x_{1}( x_{2}^{-1})a=(x_{1}x_{2}^{-1})a

 

por lo tanto x_{1}x_{2}^{-1} \epsilon \, N(a).

\therefore \, N(a)\leq G.

 

 

respondido por Rosa. Oct 9
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