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Demostrar que cualquier subgrupo de un grupo cíclico es, él mismo, un grupo cíclico.

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Demostración:

Mostremos que  H \supseteq < a^{k}>

Sea H un subgrupo del grupo ciclico G=<a>, G\neq {e}, H\neq {e},  existe un  h \epsilon H, h\neq {e}. 

Consideremos a  I=\left \{ m\epsilon \mathbb{Z} | m\geq 1, a^{m}\epsilon H \right \} donde afirmamos que I\neq \varnothing, pues si 

i\geq 1\Rightarrow i\epsilon I o si  i\leq 1\Rightarrow -i\epsilon I . ( h^{-1}=(a^{i})^{-1}= a^{-i}\Rightarrow a^{-i}\epsilon H, -i \geq 1). 

Ahora, por el principio del buen orden I tiene minimo, digamos k\epsilon \mathbb{N} donde k es el minimo de I=\left \{ m\epsilon \mathbb{Z} | m\geq 1, a^{m}\epsilon H \right \} , entonces 

a^{k}\epsilon H\Rightarrow < a^{k}> \leq H (porque si g\epsilon G\Rightarrow < g> \leq G) .

 

Ahora veamos que H \subseteq < a^{k}>.

Sea h\epsilon H, entonces h=a^{n}, n\epsilon \mathbb{N}.

Por el algoritmo de la división, n=kg +r, donde 0\leq r< k,

entonces 

a^{n}=a^{kq+r}= a^{kq}a^{r}\Rightarrow a^{n}a^{-(kq)}=a^{r}. 

si r>0\, y \, r<k \Rightarrow r\geq 1 \: y\: a^{r}    pero a^{r} \epsilon H ya que  h=a^{n}\epsilon H \, y \, a^{-(kq)}\epsilon H.  

\Rightarrow a^{n}a^{-(kq)}\epsilon H

entonces r\epsilon I pero esto es una contradiccion ya que habiamos supuesto que k es el minimo.

Por lo tanto r=0 entonces a^{n}=a^{kq}=(a^{k})^{q}  entonces 

 

a^{n}\epsilon <a^{k} > \Rightarrow h\epsilon <a^{k} > \Rightarrow H\subseteq <a^{k} >.

 

respondido por anónimo Oct 9
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