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Si H es un subgrupo de G. Sea N(H)

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N\left ( H \right )=\left \{g\epsilon G : gHg^{-1}\right \}.

  • Pruébese :
  1. N(H) es un subgrupo de G.
  2. H es normal en N(H)
  3. Si H es un subgrupo normal del subgrupo K en G, entonces k\subset N\left ( H \right ) ( es decir, N(H) es el subgrupo máximo subgrupo de G en el que H es normal).
  4. H es normal en G si y sólo si N(H)=G.

1 Respuesta

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a)

N(H) es un subgrupo de G.

Entonces por definición de N(H), tenemos aHa^{-1}= H y bHb^{-1}= H .

Ahora, 

        bHb^{-1}= H \Rightarrow b^{-1} (bHb^{-1})=b^{-1}H ( multiplicando por b^{-1} por la izq.)

                                     \Rightarrow e Hb^{-1}=b^{-1}H    ( por  bb^{-1}=e)

                                    \Rightarrow Hb^{-1}b=b^{-1}Hb  ( multiplicando por b por la derecha.)

                                   \Rightarrow He=b^{-1}Hb

 

Tenemos 

                   (ab^{-1})H(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}Hba^{-1}

                                                           =a(b^{-1}Hb)a^{-1}

                                                           =aHa^{-1}= H

                                               

                                       \therefore ab^{-1} \epsilon N(H)

 

                                      \therefore N(H)\leq G.

 

 

 

                                     

respondido por anónimo Nov 9
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