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Problema de Estadística

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Considere el espacio de probabilidad ((0,1 \right ]], B(0,1 \right ]], P), donde P es la medida de probabilidad uniforme. Demuestre que la sucesiòn de v.a.`s X_{n}=1_{\left [ 0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n} \right ]} converge en distribuciòn a la v.a. X =1_{\left [ 0,\frac{1}{2}\right ]}.

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Sea n> 2

Notemos que X_{n}(x)=I_{\left [ 0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n} \right ]}(x)=\left\{\begin{matrix} 1\; si \; x\in \left [ 0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right ]\\ \\ 0\; si \; x\notin \left [ \frac{1}{2}+\frac{1}{n},1\right ] \end{matrix}\right.

 

f_{X_{(n)}}(x)=\left\{\begin{matrix} 0\; si\;x< 0\\ \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{n}\; si\; 0\leq x< 1\\\\ 1\; si\; x\geq 1 \end{matrix}\right.

luego 

X=I_{\left [ 0,\frac{1}{2} \right ]}(x)=\left\{\begin{matrix} 1\; si \; x\in \left [ 0,\frac{1}{2}\right ]\\ \\ 0\; si \; x\notin \left [0, \frac{1}{2}\right ] \end{matrix}\right.

\therefore f_{X}(x)=\left\{\begin{matrix} 0\; si\;x< 0\\ \\ \frac{1}{2}\; si\; 0\leq x< 1\\\\ 1\; si\; x\geq 1 \end{matrix}\right.

La funciòn es continua solo por la derecha, aplicando f_{X}(n)\xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{L}F_{X}(x)

considerando el caso cuando 0\leq x< 1

Sea \in > 0 y x\in Domf tal que f es continua 

\left | f_{X_{(n)}}(x)-f_{X}(x) \right |=\left | \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2} \right |=\frac{1}{n}< \in

\Rightarrow \frac{1}{\in }< n, \; \forall \in > 0,\; \exists _{n}=\frac{1}{\in }

\forall x\in Domf, \; f \; es\; continua

\therefore f_{X_{(n)}}(x)\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}f_{X}(x)

respondido por Roberto Nov 7
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